关于数的整除问题

基本概念和知识

1.质数与合数

一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。

一个数除了1和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。

要特别记住:1不是质数,也不是合数。

2.质因数与分解质因数

如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

例:把30分解质因数。

解:30=2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12=2×2×3=22×3,2、3都叫做12的质因数。

例 题

例题1 三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.

解:∵210=2×3×5×7

∴可知这三个数是5、6和7。

例题2 两个质数的和是40,求这两个质数的乘积的最大值是多少?

解:把40表示为两个质数的和,共有三种形式:

40=17+23=11+29=3+37。

∵17×23=391>11×29=319>3×37=111。

∴所求的最大值是391。

答:这两个质数的最大乘积是391。

例题3 自然数123456789是质数,还是合数?为什么?

解:123456789是合数。

因为它除了有约数1和它本身外,至少还有约数3,所以它是一个合数。

例题4 连续九个自然数中至多有几个质数?为什么?

解:如果这连续的九个自然数在1与20之间,那么显然其中最多有4个质数(如:1~9中有4个质数2、3、5、7)。

如果这连续的九个自然中最小的不小于3,那么其中的偶数显然为合数,而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5,因而5是这个奇数的一个因数,即这个奇数是合数.这样,至多另4个奇数都是质数。

综上所述,连续九个自然数中至多有4个质数。

例题5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组,使每组数的乘积相等。

解:∵5=5,7=7,6=2×3,14=2×7,15=3×5,

这些数中质因数2、3、5、7各共有2个,所以如把14

(=2×7)放在第一组,那么7和6(=2×3)只能放在第二组,继而15(=3×5)只能放在第一组,则5必须放在第二组。

这样14×15=210=5×6×7。

这五个数可以分为14和15,5、6和7两组。

例题6 有三个自然数,最大的比最小的大6,另一个是它们的平均数,且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

分析 先大概估计一下,30×30×30=27000,远小于42560.40×40×40=64000,远大于42560.因此,要求的三个自然数在30~40之间。

解:42560=26×5×7×19

=25×(5×7)×(19×2)

=32×35×38(合题意)

要求的三个自然数分别是32、35和38。

例题7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6,b×c=15,

a×c=10.求a×b×c是多少?

解:∵6=2×3,15=3×5,10=2×5。

(a×b)×(b×c)×(a×c)

=(2×3)×(3×5)×(2×5)

∴a2×b2×c2=22×32×52

∴(a×b×c)2=(2×3×5)2

a×b×c=2×3×5=30

在例7中有a2=22,b2=32,c2=52,其中22=4,32=9,52=25,像4、9、25这样的数,推及一般情况,我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。

如.12=1,22=4,32=9,42=16,…,112=121,122=144,…其中1,4,9,16,…,121,144,…都叫做完全平方数.

下面让我们观察一下,把一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数有什么特征。

例如:把下列各完全平方数分解质因数:

9,36,144,1600,275625。

解:9=32 36=22×32 144=32×24

1600=26×52 275625=32×54×72

可见,一个完全平方数分解质因数后,各质因数的指数均是偶数。

反之,如果把一个自然数分解质因数之后,各个质因数的指数都是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。

如上例中,36=62,144=122,1600=402,275625=5252。

例题8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

分析 ∵a与1080的乘积是一个完全平方数,

∴乘积分解质因数后,各质因数的指数一定全是偶数。

解:∵1080×a=23×33×5×a,

又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数,

∴a必含质因数2、3、5,因此a最小为2×3×5。

∴1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。

答:a的最小值为30,这个完全平方数是32400。

例题9 问360共有多少个约数?

分析 360=23×32×5。

为了求360有多少个约数,我们先来看32×5有多少个约数,然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23,即得到23×32×5(=360)的所有约数.为了求32×5有多少个约数,可以先求出5有多少个约数,然后再把这些约数分别乘以1、3、32,即得到32×5的所有约数。

解:记5的约数个数为Y1,

32×5的约数个数为Y2,

360(=23×32×5)的约数个数为Y3.由上面的分析可知:

Y3=4×Y2,Y2=3×Y1,

显然Y1=2(5只有1和5两个约数)。

因此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

所以360共有24个约数。

说明:Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数,也就是其中2的最大指数加1,也就是360=23×32×5中质因数2的个数加1;Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数,也就是23×32×5中质因数3的个数加1;而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数,即23×32×5中质因数5的个数加1.因此

Y3=(3+1)×(2+1)×(1+1)=24。

对于任何一个合数,用类似于对23×32×5(=360)的约数个数的讨论方式,我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论:

一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。

例题10 求240的约数的个数。

解:∵240=24×31×51,

∴240的约数的个数是

(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,

∴240有20个约数。

请你列举一下240的所有约数,再数一数,看一看是否是20个?

 



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