综合应用3和11倍数知识,解决整除问题的奥数题

题目(4星难度):

某6位数奇数是33的整数倍,且中间4位数字是2018。请问这个6位数是多少?

 

答案:420189。

 

辅导办法:

题目写给小朋友,让他自行思考解答,若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。

 

讲解思路:

这种整除问题,

熟悉的规律只有三个:

3的整数倍各位数字和是3的倍数;

9的整数倍各位数字和是9的倍数;

11的整数倍奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数。

本题中由于33=11*3,

因此该数是3和11的整数倍。

假设6位数是A2018B,

分别应用规律即可。

 

步骤1:

先思考第一个问题,

A2018B是3的整数倍说明什么?

由于数字和是

A+2+0+1+8+B=11+A+B,

要使数字和是3的整数倍,

A+B除以3的余数必须是1。

 

步骤2:

再思考第二个问题,

A2018B是11的整数倍说明什么?

奇数位的数字和是A+0+8=A+8,

偶数位的数字和是2+1+B=B+3。

按两个和的大小分别讨论:

(1)当A+8 > B+3 时,

(A+8)-(B+3)=A-B+5是11的整数倍,

注意到A和B都是个位数,

只能有A-B+5=11,

即使A-B=6。

(2)当A+8 <= B+3 时,

(B+3)-(A+8)=B-A-5是11的整数倍,

注意到A和B都是个位数,

只能有B-A-5=0,

即使B-A=5。

因此A=B+6或B=A+5。

 

步骤3:

综合上述两个问题,

从步骤1知道,

A+B除以3的余数是1。

对步骤2的结论分别讨论:

(1)当A=B+6时,

A+B=2B+6,

A+B除以3的余数只能是0或2,

因此A=B+6不可能成立;

(2)当B=A+5时

A+B=2A+5,

要使B是个位数,

A只能是1、2、3、4,

要满足2A+5除以3余数是1,

A只能是1或4,

而要使B是奇数,

A只能是4。

所以满足条件的6位偶数是420189。

 

思考题:

某6位数是99的整数倍,且中间4位数字是2018。请问这个6位数是多少?

 



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